Ushbu kurs ishida xarakteristik funksiya tushunchasi, uning nazariy asoslari, amaliy xossalari va statistik tadqiqotlarda qo‘llanish yo‘nalishlari chuqur ilmiy yondashuv asosida o‘rganildi. Xarakteristik funksiya tasodifiy miqdorning to‘liq spektral tavsifi bo‘lib, u orqali nafaqat momentlarni aniqlash, balki taqsimotning o‘zini tiklash, yig‘indilar taqsimotini hisoblash va chegaraviy teoremalar isbotini bajarish imkoniyati mavjudligi ko‘rsatildi. Birinchi bobda tasodifiy miqdorlar taqsimoti, xarakteristik funksiyaning paydo bo‘lishi, mavjudlik shartlari va momentlar bilan bog‘liqligi yoritildi. Ushbu bo‘lim natijalariga ko‘ra, xarakteristik funksiya har qanday tasodifiy miqdor uchun mavjud bo‘lishi, uning modulining 1 dan katta bo‘lmasligi va uzluksizlik xossalariga ega ekani isbotlandi. Shuningdek, momentlar bilan bog‘liqligi orqali tasodifiy miqdorning statistik tavsiflarini xarakteristik funksiya yordamida aniqlash mumkinligi ko‘rsatildi. Ikkinchi bobda xarakteristik funksiyaning asosiy xossalari, mustaqil tasodifiy miqdorlar yig‘indisining xarakteristik funksiyasi, va Markaziy limit teoremasi kabi fundamental chegaraviy teoremalar isboti batafsil tahlil qilindi. Mustaqil tasodifiy miqdorlarning yig‘indisi uchun xarakteristik funksiya ko‘paytmaga aylanishi konvolyutsiya amallarini sezilarli darajada soddalashtirishi isbotlandi. Markaziy limit teoremasining xarakteristik funksiyalar yordamida isboti esa ushbu usulning qulayligi va universalligini yaqqol namoyon qildi. Uchinchi bobda xarakteristik funksiya orqali taqsimotni tiklashning teskari Furye transformiga asoslangan mexanizmi ko‘rsatildi. Shuningdek, normal, Puasson, eksponensial, Koshy, binomial, Laplas va Gamma taqsimotlari uchun xarakteristik funksiyalarni aniq hisoblash bo‘yicha amaliy misollar keltirildi. Ushbu misollar xarakteristik funksiyaning kuchli tahliliy vosita sifatida statistik modellashtirishda qanday keng qo‘llanishga ega ekanini tasdiqladi. DIQQATTTTTTT Barcha formuala va masallar to'liq matxpi dasturida yozilgan bo'lib yuqori darajadagi sifatli